8.10. Гиперболическая корреляция
Уравнение регрессии в форме гиперболы имеет следующий вид:
Если величина Ъ положительна, то при увеличении значений факторного признака х значения результативного признака уменьшаются, причем это уменьшение все время замедляется, и при х -> оо средняя величина признака у будет равна а. Если же параметр Ь отрицателен, то значения результативного признака с ростом фактора возрастают, причем- их рост замедляется, и в пределе при х → ∞ у? = а. Таким образом, гиперболические зависимости характерны для связей, в которых результативный признак не может варьировать неограниченно, его вариация имеет односторонний предел. Например, при освоении нового оборудования его производительность возрастет, но рост замедлится по мере приближения к конструктивно-технологическому пределу производственной мощности агрегата. Совершенствуя двигатель, можно увеличивать его КПД, но тоже не выше предела, допускаемого данным видом преобразования энергии. Таков же характер связи между уровнем душевого дохода х в семье и долей семей, имеющих телевизоры, у; он приближен к пределу (100%) в наиболее обеспеченной группе семей. Нормальные уравнения метода наименьших квадратов для гиперболы таковы:
Легко видеть, что эти уравнения, по существу, те же, что и для линейной связи. Линеаризация гиперболического уравнения достигается заменой 1/х на новую переменную, которую можно обозначить z. Тогда уравнение (8.27) примет вид y? = а + bz. Это и следует cделать, вычисляя гиперболу на компьютере, если программа для него не предусматривает автоматического вычисления гиперболических регрессий.
В качестве примера расчета уравнения гиперболической связи рассмотрим влияние среднесуточного прироста живой массы крупного рогатого скота на откорме на себестоимость прироста живой массы в совокупности предприятий области, занимавшихся откормом скота (табл. 8.6).
где х в сотнях граммов
Таблиц а 8.6
Гиперболическая связь себестоимости прироста со
скоростью прироста массы скота
Группы предприятий по среднесуточному приросту массы граммов на 1 голову хi
|
Число предприятий fj
|
Средняя себестоимость прироста руб./ц
y?j
|
Середина интервалов x'j
сотнях граммов на голову
|
|
|
|
|
|
334-425
|
22
|
496
|
3,8
|
5,79
|
1,52
|
10912
|
2872
|
513
|
425-516
|
37
|
425
|
4,7
|
7,87
|
1,67
|
15725
|
3346
|
419
|
516-607
|
28
|
360
|
5,6
|
. 5,00
|
0,89
|
10080
|
1800
|
356
|
607-698
|
27
|
310
|
6,5
|
4,15
|
0,64
|
8370
|
1288
|
310
|
698-789
|
9
|
283
|
7,4
|
1,22
|
0,16
|
2547
|
344
|
275
|
Итого
|
123
|
387
|
-
|
24,03
|
4,88
|
47634
|
9650
|
-
|
Точечный прогноз по уравнению регрессии при среднесуточном приросте массы животных, равном 900 г, уже достигнутом передовыми хозяйствами, приводит к ожидаемой средней себес-
Следовательно, 67% вариации себестоимости прироста массы скота объяснились вариацией скорости роста массы животных и связанных с ней других факторов, например, чем быстрее растет масса, тем меньше расход кормов на единицу прироста массы.
|