Статистическая помощь! .Общая теория статистики. - 7.12. Основы дисперсионного анализа

Может быть поставлена задача сравнения двух выборочных дисперсий. Для ее решения применяется критерий, названный в честь английского статистика Рональда Фишера (1890 - 1968) F- критерием. Этот критерий представляет собой отношение выборочных дисперсий s21 и s22, которые рассматриваются как оценки одной и той же генеральной дисперсии σ2:

Испытуемая гипотеза является нулевой гипотезой Н0 : σ21 = σ22 = σ2, альтернативная гипотеза Н1 : σ21 ? σ22 ? σ2 .

F-критерий строится так, что в числителе стоит бо?льшая дисперсия. Fmin = 1, Fmax → ∞ . Критические значения критерия F берутся из таблиц F-распределения. F-распределение зависит от уровня значимости и от числа степеней свободы сравниваемых дисперсий d.f.1 и d.f.2 (cм. приложение, табл. 3).

В дисперсионном анализе общая вариация подразделяется на составляющие и производится сравнение этих составляющих. Испытуемая гипотеза состоит в том, что если данные каждой группы представляют случайную выборку из нормально распределенной генеральной совокупности, то величины всех частных дисперсий должны быть пропорциональны своим степеням свободы и каждую из них можно рассматривать как оценку генеральной дисперсии.

Дисперсионный анализ часто применяется совместно с аналитической группировкой (см. гл. 6). В этом случае данные подразделяются на группы по значениям признака-фактора, вычисляются значения средних величин результативного признака в группах, считается, что различия в их значениях определяются различиями в значениях фактора. Задача состоит в оценке существенности различий между средними значениями результативного признака в группах. Итак, испытуемая гипотеза может быть записана как гипотеза о средних величинах Н0 : μ1 = μ2 =μ3 =… Как было показано в предыдущем параграфе, когда выделяются две группы, эта задача решается с помощью t-критерия. Если же число сравниваемых групп больше двух, то существенность различий между группами доказывается с помощью дисперсионного анализа, на основе F-критерия. Заметим, что результаты дисперсионного анализа, так же как и выводы о характере связи, значения показателей ее силы и тесноты, зависят от числа групп, выделенных по признаку-фактору.

В случае выделения групп по одному фактору мы имеем так называемый однофакторный дисперсионный комплекс. Разложение дисперсии при этом производится в соответствии с правилом сложения дисперсий (см. гл. б):

где уij - значение результативного признака у i-й единицы в j-й группе;

yj - средняя величина результативного признака в у-й группе;

у? — общая средняя результативного признака.

Если обозначить суммы квадратов отклонений буквой D, получим равенство:

На основе разложения дисперсии (7.41) в соответствии с гипотезой отсутствия различий между группами могут быть получены три оценки генеральной дисперсии, пропорциональные степени свободы: на основе общей вариации, межгрупповой (факторной) и внутригрупповой (остаточной). Число степеней'свободы равно:

Как и суммы квадратов отклонений, числа степеней свободы связаны между собой равенством:

Деление сумм квадратов отклонений на соответствующее число степеней свободы дает три оценки генеральной дисперсии σ2 .

Поскольку Dфакт измеряет вариацию результативного признака, связанную с изменением фактора, по которому произведена группировка, a Dост - вариацию, связанную с изменением всех прочих факторов, сравнение этих величин, рассчитанных на одну степень свободы, дает возможность оценить существенность влияния признака-фактора на результативный признак с помощью F-критерия:

Эта запись предполагает, что s2факт > s2ост. Как правило, мы получаем именно такое соотношение. Если F факт > Fтабл (α., d.f.1, d.f.2), можно утверждать, что нуль-гипотеза не соответствует фактическим данным, влияние признака-фактора является существенным или, иначе говоря, статистически значимым.

Рассмотренные этапы однофакторного дисперсионного анализа представлены в табл. 7.9.

Схема однофакторного дисперсионного анализа

Источник вариации

Сумма квадратов отклонений

Число степеней свободы

d.f.

Средний квадрат отклонений

s2=D:d.f.

F-критерий

Между группами

m-1

s21

Внутри групп

n-m

s22

Общая

n-1

По данным табл. 6.6 проверим гипотезу Н0 : μ 1= μ2 ..., т. е. предположим, что оборачиваемость средств никак не влияет на прибыль.

Тогда F = 28,5. Критическое значение F-критерия из табл. 3 приложения F(α=0,05, d.f.1=2, d.f.2=17) = 3,59. Таким образом Fфакт > Fкрит следовательно, Н0 отклоняется. Действительно, скорость оборота средств является очень важным фактором формирования прибыли, на это указывало и значение эмпирического корреляционного отношения η = 0,881.

Рассмотрим двухфакторный дисперсионный анализ, основой проведения которого служит комбинационная группировка по двум факторам х и z, с последующим разложением дисперсии результативного признака у:

где i - номер единицы в j-й группе по признаку х и k-й по признаку z;

k =I?р?, у?jk - среднее значение признака у? в группе, образованной ком-бинацией j-го значения признака х и k-го значения признака z;

у?j - среднее значение признака у в j-й группе по признаку х;

y?k - среднее значение признака у в k-й группе по признаку z;

у? - общая средняя признака y в целом по выборке;

пjk - число единиц в группе, образованной комбинацией j-го значения признака х и k-го значения признака z;

Dxz - вариация у, обусловленная взаимодействием факторов х и z;

Dост - вариация у под влиянием прочих факторов.

Первые три слагаемые составляют вариацию признака у, вызванную изучаемыми факторами, поэтому равенство (7.45) можно записать в виде:

Величина Dфакт может быть рассчитана не через составляющие, а непосредственно как

Однако при неравенстве численностей подгрупп пjk и групп пj и пk равенство нарушается (за счет взвешивания при неравных весах).

Поэтому рассчитываются невзвешенные величины:

Затем на основе сравнения взвешенной (7.48) и невзвешенной величин факторной дисперсии находят поправочный коэффициент:

Этот коэффициент используется для корректировки невзвешенных сумм квадратов отклонений

, на основе которых проводят расчет F-критериев:

Число степеней свободы для каждой суммы квадратов отклонений составляет:

В двухфакторном дисперсионном анализе испытуемые гипотезы формулируются следующим образом:

Вся процедура двухфакторного дисперсионного анализа обобщается в табл. 7.10.

Схема двухфакторного дисперсионного анализа

Источник вариации	Сумма квадратов отклонений D	Число степеней. свободы d. f.	Средний квадрат отклонений s2 = D/d.f.	F-критерий
Факторы х и z	D′факт•K	mp - 1	s2факт
Фактор х	D′x•K	m - 1	s2x
Фактор z	D′z•K	p - 1	s2z
Взаимодействие факторов х и z	(D′факт- D′x- - D′z)•K	mp – p-m+1	s2xz
Остаточная	Dобщ - D′факт•K	n - mp	s2ост
Общая	Dобщ	n - 1	s2

Решение о первой гипотезе принимается на основе сравнения

Вторая гипотеза испытывается на основе сравнения

Во всех случаях, если Fфакт > Fкрит, Н0 отклоняется. На основе F-критерия принимаются решения о форме уравнения регрессии, о статистической значимости той или иной объясняющей переменной при построении многофакторного уравнения регрессии (см. гл. 8) и др.

Рассмотренные направления проверки статистических гипотез охватывают лишь важнейшие из них. Процедура испытания статистических гипотез применяется для определения того, случайно или нет полученное значение коэффициента корреляции, коэффициента вариации и т. д., случайны или нет различия в значениях показателей (медиан, коэффициентов корреляции, регрессии и т.д.) в разных совокупностях. Во всех случаях результатом является вероятностное суждение, которое составляет сущность анализа данных в разнообразных сферах: в медицине, биологии, технике, политике, спорте, экономике, психологии и социологии.