Статистическая помощь! .Общая теория статистики. - 5.10. Предельно возможные значения показателей вариации и их применение

Применяя любой вид статистических показателей, полезно знать, каковы предельно возможные значения данного показателя для изучаемой системы и каково отношение фактически наблюдаемых значений к предельно возможным. Особенно актуальна эта проблема при изучении вариации объемных показателей, таких, как объем производства определенного вида продукции, наличие определенных ресурсов, распределение капиталовложений, доходов, прибыли. Рассмотрим теоретически и практически данный вопрос на примере распределения производства овощей между сельхозпредприятиями в районе.

Очевидно, что минимально возможное значение показателей вариации достигается при строго равномерном распределении объемного признака между всеми единицами совокупности, т. е. при одинаковом объеме производства в каждом из сельхозпредприятий. В таком предельном (конечно, весьма маловероятном на практике) распределении вариация отсутствует и все показатели, вариации равны нулю.

Максимально возможное значение показателей вариации достигается при таком распределении объемного признака в совокупности, при котором весь его объем сосредоточен в одной единице совокупности; например, весь объем производства овощей - в одном сельхозпредприятий района при отсутствии их производства в остальных хозяйствах. Вероятность такого предельно возможного сосредоточения объема признака в одной единице совокупности не столь уж мала; во всяком случае она гораздо больше вероятности строго равномерного распределения.

Рассмотрим показатели вариации при указанном предельном случае ее максимальности. Обозначим число единиц совокупности п, среднюю величину признака х?, тогда общий объем признака в совокупности выразится как х?п . Весь этот объем сосредоточен у одной единицы совокупности, так что хmax= х?п. хmin = 0, откуда следует, что максимальное значение амплитуды (размаха вариации) равно:

Для вычисления максимальных значений средних отклонений по модулю и квадратического построим таблицу отклонений (табл. 5.8)1

Модули и квадраты отклонений от средней при максимально


Номера единиц совокупности	Значения признака xi	Отклонения от средней xi -x?	Модули отклонений \|xi - x?\|	Квадраты отклонений (хi - х?)2
1 2 3 • • • n	х?п 0 0 • • • 0	х?(п - 1) -x? -x? • • -x?	х?(п - 1) х? х? • • • х?	х?2(п - 1)2 х?2 х?2 • • • х?2
Итого	х?п	0 (нуль)	2х?(п - 1)	х?2[(п - 1)2+(n-1)]

Исходя из выражений, стоящих в итоговой строке табл. 5.8, получаем следующие максимально возможные значения показателей вариации.

Средний модуль отклонений, или среднее линейное отклонение:

Относительное модульное (линейное) отклонение:

Что касается квартального расстояния, то система с максимально возможной вариацией обладает вырожденной структурой распределения признака, в которой не существуют («не работают») характеристики структуры: медиана, квартили и им подобные.

Исходя из полученных формул максимально возможных значений основных показателей вариации, прежде всего следует вывод о зависимости этих значений от объема совокупности п. Эта зависимость обобщена в табл. 5.9.

Наиболее узкие пределы изменения и слабую зависимость от численности совокупности обнаруживают средний модуль и относительное линейное отклонение. Напротив, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации сильно зависят от численности единиц совокупности. Эту зависимость следует учитывать при сравнении силы интенсивности вариации в совокупностях разной численности. Если в совокупности шести предприятий коэффициент вариации объема продукции составил 0,58, а в совокупности из 20 предприятий он составил 0,72, то справедливо ли делать вывод о большей неравномерности объема продукции во второй совокупности? Ведь в первой, меньшей, он составил 0,58 : 2,24 = 25,9% максимально возможного, т.е. предельного, уровня концентрации производства в одном предприятии из шести, а во второй, большей совокупности, наблюдаемый коэффициент вариации составил только 0,72 : 4,36 = 16,5% максимально возможного.

Предельные значения показателей вариации объемного признака при разных численностях совокупности

Численность совокупностей	Максимальные значения показателей
Численность совокупностей	R	?	?	m	?	v
2	2х	2	х?	1	х?	1
4	4х	4	1,5 х?	1,5	1,73 х?	1,73
б	6х	6	1,67 х?	1,67	2,24 х?	2,24
10	10х	10	1,80 х?	1,80	3 х?	3.00
20	20x	20	1,90 х?	1,90	4,36 х?	4,36
50	50х	50	1,96 х?	1,96	7 х?	7,00
100	100х	100	1,98 х?	1,98	9,95 х?	9,95
?	?	?	2 х?	2	?	?

Имеет практическое значение и такой показатель, как отношение фактического среднего модуляотклонений к предельно возможному. Так, для совокупности шести предприятий это соотношение составило: 0,47 : 1,67 = 0,281, или 28,1%. Интерпретация полученного показателя такова: для перехода от наблюдаемого распределения объема продукции между предприятиями, к равномерному распределению потребовалось бы перераспределить

, или 23,4% общего объема продукции в совокупности. Если степень фактической концентрации производства (фактическая величина ? или v) составляет некоторую долю предельного значения при монополизации производства на одном предприятии, то отношение фактического показателя к предельному может характеризовать степень концентрации (или монополизации) производства.

Отношения фактических значений показателей вариации или изменения структуры к предельно возможным используются также при анализе структурных сдвигов (см. главу 11).

1 См.: Кривенкова Л. Н„ Юзбашев М. М. Область существования показателей вариации и ее применение//Вестник статистики. - 1991. - № 6. -С. 66-70.