Статистичекая помощь!
Новости
О нас
Услуги
Наши работы
Статьи
Контакты
Глоссарий
 


  ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СТАТИСТИКИ

Под редакцией члена-корреспондента Российской Академии наук И.И. Елисеевой

10.2. Индекс как показатель центральной тенденции (индекс средний из индивидуальных)


Вы можете услышать, что уровень потребительских цен понизился или повысился. Речь в этом случае идет об индексе цен на потребительские товары. Общее изменение образуется под влиянием изменений цен на отдельные товары. Таким образом, мы имеем ряд отношений:

                        и т.д.

Эти отношения есть не что иное, как индивидуальные индексы, и сводный индекс представляет собой средний из них:

                               ,


где j - номер товара.

Так как средняя есть показатель центра распределения, то и сводный индекс можно назвать показателем центральной тенденции. Проблема состоит в том, как получить этот сводный индекс. Впервые она возникла при попытке оценить совокупное изменение цен либо в виде отношения сумм цен:

               ,


либо как среднее из изменений цен на отдельные товары:

                                               (10.1)


В том и другом варианте представлены невзвешенные средние. Первый вариант исходит из того, что цена рассчитывается за единицу товара, например за 1кг, и сумма цен может рассматриваться как набор слагаемых с равными весами. Однако, этот вариант не отвечает задаче осреднения показателей изменений цен на отдельные товары. Второй 'вариант настораживает тем, что согласно общему правилу средняя из относительных величин должна вычисляться как средняя взвешенная. Действительно, если говорить конкретно об измерении динамики цен на все продовольственные или непродовольственные товары, то ясно, что если цены на ювелирные изделия из золота удвоятся, а цены на хлеб останутся неизменными, это не значит, что в целом цены выросли на 50% ((2+ 1)/2 = 1,5). Приведенный пример показывает, что индекс цен для каждого товара должен сопровождаться неким «весом», который позволяет оценить относительную значимость этого индекса для потребителя. В качестве веса используют удельный вес в общей стоимости покупок: в базисном периоде:


               


Если обозначить удельный вес отдельных затрат с1ц„ то получим общий индекс цен как средний арифметический взвешенный из индивидуальных индексрв цен:

                                                       (10.2)

т.е. Ip = i?p..


Используя формулу (10.2) можно получить общее изменение цен на продукты по данным табл. 10.1.

Часто можно встретить утверждение, что чем сильнее варьируют веса средней, тем значительнее отличие невзвешенной средней от взвешенной. Покажем ошибочность этого утверждения применительно к индексу среднему из индивидуальных. Рассмотрим два примера А и Б.

А. Равенство взвешенной и простой средних при сильной вариации весов.

В табл. 10.1 представлены данные примера А.

Таблица 10.1



товара

Цены

Индекс

ip

Доля в

базисной выручке

d0


ip· d0

Вариаця долей

Р0

Р1

(dj0 d0)

(dj0 d0)2

1

10

11

1,1

0,40

0,44

0,20

0,0400

2

15

30

2,0

0,25

0,50

0,05

0,0025

3

20

28

1,4

0,15

0,21

-0,05

0,0025

4

25

40

1,6

0,10

0,16

-0,10

0,0100

5

30

27

0,9

0,10

0,09

-0,10

0,0100

Итого



1,4

1,00

1,40

0

0,0650


Невзвешенный средний индекс цен

Среднее значение веса  

Взвешенный средний индекс цен  

Результат совпадает с простой средней. Между тем вариация весов значительна, стандартное отклонение

                       

Коэффициент вариации весов

                               , т.е. 57%.


Б. Неравенство взвешенной и простой средних при слабой вариации весов.

В табл. 10.2 представлены данные примера Б.

Таблица 10.2





товара

Цены

Индекс

ip

Доля, в базисной выручке

d0



ip· d0

Вариация долей

Р0

Р1

(dj0 d0)

(dj0 d0)2

1

10

11

1,1

0,15

0,165

-0,05

0,0025

2

15

30

2,0

0,26

0,520

0,06

0.0036

3

20

28

1,4

0,19

0,266

-0,01

0,0001

.4

25

40

1,6

0,25

0,400

0,05

0,0025

5

30

27

0,9

0,15

0,135

-0,05

0,0025

Итого

X

X

1,4

1,00

1,486

0

0,0112


невзвешенный средний индекс цен:

взвешенный средний индекс цен   ;

вариация весов   

vd = 0,2366 или 23,7%, т. е. вариация весов намного слабее, чем в примере А.

Рассмотрим, в чем секрет таких соотношений? Обратимся к формуле взвешенной средней:


               


где     x?, f? - простые средние;

Δх, Δf - отклонения от них.


Представим последнее выражение как:


       


Числитель второго слагаемого можно представить через коэффициент корреляции между х и f:

                                       (10.3)


Эта формула аналогична формуле (5.6). Следовательно, средняя взвешенная равна простой средней, если:

вариация признака х, отсутствует, т. е. σx = 0;

вариация -весов fi отсутствует, т. е. vf = 0;

нет корреляции между вариациями признака и весов, т. е. rxf = 0 (хотя бы сами х, и f, варьировали как угодно сильно).

Отношение взвешенной средней и простой можно выразить следующим образом:

                                                               (10.4)


Поскольку различие взвешенной и простой средних зависит от корреляции значений признака и веса, постольку оно может оказаться большим при слабой вариации весов, чем при их сильной вариации (см. главу 5).

Рассмотрим соотношения между индексами (10.1) и (10.2) на примере табл. 10.3.

Таблица 10.3

Данные розничной торговли города N



Выручка в мае

Отноше

ние цен в июне к ценам

в мае, %

ip = p1:p0

Выручка с

учетом изменения цен,

млн руб.

q0p1=q0p0ip

абс. млн. руб.

относит.


q0p0


d0

1

2

3

4

5

Мясо и мясопродукты

2352,0

0,271

110,5

2599,0

Рыба и рыбопродукты

735,0

0,085

112,2

824,7

Масло животное

2058,0

0,237

103,2

2123,8

Масло растительное

9,8

0,001

105,6

10,4

Молоко и молочные продукты

882,0

0,102

102,4

903,2

Сахар

Итого

2644,0

8680,8

0,304

1,000

    107,3

    641,2*

2837,0

9298.1

* Обычно  ip  не суммируются





Обратите внимание на данные гр. 5 табл. 10.3: произведение q0p0ip имеет не просто техническое значение взвешивания индивидуального индекса, но дает определенный содержательный результат -показатель условных затрат на покупку с учетом изменения цен  q0 · p0 · ip  = q0 · p1

Это дает право представить формулу (10.2) в виде:

                                                                       (10.5)


Выражение (10.5) получило известность как индекс Ласпейреса, предложившего эту формулу в 1864 г. По данным табл. 10.3

               


т. е. цены возросли в среднем на 7,1%. Если воспользоваться формулой (10.1), то Ip = 641,2/6 = 1,069 • 100 = 106,9%, т. е. в среднем цены возросли на 6,9%. Отличие от среднего взвешенного арифметического индекса составляет 0,2%.

Мы рассмотрели определение среднего изменения на основе средней арифметической из индивидуальных, но ведь могут использоваться и другие виды средних: средняя геометрическая, средняя гармоническая и т. д. - невзвешенные и взвешенные. Используя среднюю геометрическую невзвешенную, получаем:

Средняя гармоническая всегда дает результат, меньший средней арифметической. Применяя среднюю гармоническую невзвешенную, получаем:


Опять-таки деление единицы на каждый индекс предполагает равное значение изменения цен на товары, что не соответствует практике.

Используя в качестве весов затраты на покупку в отчетном периоде, получаем сводный индекс цен как средний гармонический взвешенный из Индивидуальных индексов цен:

                                                                       (10.6)


В формуле (10.6) и далее для простоты мы опустили подстрочный значок, соответствующий номеру товара (элемента), хотя, конечно же, суммирование и в числителе, и в знаменателе производится по всему набору товаров (элементов).

Рассчитаем этот индекс по данным табл. 10.3. Кроме того, нам потребуются дополнительные данные. Как всегда, лучшей формой представления цифровых данных является таблица. Представим все необходимые данные в табл. 10.4, используя вместо названий номера продуктов.

Таблица 10.4

                  Данные розничной торговли города


п/п

Относительное изменение количества купленных продуктов в июне по сравнению с маем, %

ip =q1 : q0

Выручка в июне, млн руб.


  qp1

Условная выручка без учета изменения цен, млн руб.,


  qp0 =  qp1 : ip

1

98,5

2560,0 .

2316,7

2

100,3

827,2

737,3

3

97,8

2077,1

2012,7

4

102,0

10,6

10,0

5

100,0

903,2

882,0

6

98.0

2780,3

2591,1

Итого

596,6*

9158,4

8549,8

* Обычно iq не суммируется.



                       


Результат совпал с тем значением / , которое было получено по формуле (10.2). Но это случайное совпадение, которое оказалось возможным из-за слабой корреляции между изменением уровня цен и объема продаж отдельных товаров. Это может быть при сравнении за короткий период. В рыночной экономике взаимосвязь между колебаниями цен и объема продаж проявляется при сравнении за более длительный период. Ниже будет показано, как измерить величину этой корреляции (см. формулу (10.17).

Знаменатель формулы (10.6) имеет смысл затрат на покупку «отчетного» количества товаров по базисным ценам:


                       


Тогда формула (10.6) может быть представлена как

                       

                                                                               (10.7)


Эта формула индекса цен была предложена Пааше в 1874 г. Различие между индексами Пааше и Ласпейреса, их использование обсуждаются ниже в данной главе.

Итак, мы рассмотрели применение разных форм и видов средних величин для определения среднего изменения цен по всем товарам. Люди всегда в первую очередь интересовались ценами и их изменениями. Но такой же подход может быть применен к оценке сводных изменений других характеристик, например объема (количества) покупок товаров. Кстати заметим, что используемые нами обозначения цен (р), количества (q) неслучайны и соответствуют начальным буквам английских слов price (цена) и quantity (количество). Это закрепленные обозначения в статистике.

Таким образом, общее изменение количества проданных товаров формируется как среднее по отношению к изменениям объема покупок отдельных товаров, т. е.

                        , где  


Возникает вопрос о порядке расчета средней из iq: средняя арифметическая - простая или взвешенная - или другая форма средней. Ограничимся рассмотрением только средней арифметической.

По данным табл. 10.4 простая средняя арифметическая из индивидуальных индексов количества равна:


= 0,994·100% = 99,4%(- 0,6%).


Используя в качестве весов для изменений объема покупок удельный вес покупок в общей сумме затрат, получаем:

                                                       (10.8)


т. е. индекс Iq - средний арифметический взвешенный из индивидуальных iq.

По данным нашего примера (табл. 10.3 и 10.4) общий индекс количества равен:

               


Получилось, что объем покупок продовольственных товаров сократился в среднем на 1,5%. Это более значительная оценка снижения, нежели полученная при расчетах по простой средней арифметической (- 0,6%). Так что мы еще раз получили подтверждение зависимости результата от использованной формулы.

Зная среднюю величину изменения показателя и индивидуальные индексы, можно проводить анализ методами вариационной статистики: анализировать распределение товаров по изменению цен, объема покупок, сравнивать модальное и среднее изменение, максимальное и минимальное; по показателям эксцесса распределений делать выводы о том, насколько однородны изменения цен и количества по отдельным товарам, группировать товары по уровню цен и степени их изменения и т. д.


 



  Новости   О нас   Услуги   Наши работы   Статьи   Контакты   Глоссарий
Статистическая помощь! © 2005 - 2024  Защита авторских прав
Новости Добавить в избранное